POLINOMIOS

Un $\mathbf{polinomio}$ es una suma limitada de monomios no semejantes. $\mathbf{Ejemplos:}$ $$4x^2y^3 + 2x^4y^2 - x^3y$$ $$x^5 + x^3 + 2x + 1$$ $\mathbf{Notación:}$ Un polinomio cuya única variable es $x$ se representa como $P(x)$, que se lee "P de x" o "P en x". En general, un polinomio de $(n+1)$ términos se expresa: $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_0 x^0$$ Donde: - $x$ es la variable cuyo mayor exponente es $n$. - $a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_0$ son los $\mathbf{coeficientes}$ de $P(x)$. - $a_n$: coeficiente principal; $a_n eq 0$. - $a_0$: término independiente.

El $\mathbf{Grado\ Absoluto}$ de un polinomio está representado por el monomio de $\mathbf{mayor\ grado}$. El grado de un monomio se obtiene sumando todos los exponentes de sus variables. $\mathbf{Ejemplos:}$ $$P(x) = x^7 + x^5 + 4 \quad \Rightarrow \quad G.A. = 7$$ $$P(x,y) = x^{12}y^5 + x^4y + 4 \quad \Rightarrow \quad G.A. = 12 + 5 = 17$$ > En el segundo ejemplo, el monomio $x^{12}y^5$ tiene grado $12 + 5 = 17$, que es el mayor de todos los términos.

El $\mathbf{Grado\ Relativo}$ está representado por el $\mathbf{mayor\ exponente}$ de la variable referida dentro del polinomio. $\mathbf{Ejemplo:}$ $$P(x,y) = 2x^3y^5 - 4x^4y^3 - 1y^5$$ - $GR_{(x)} = 4$ → el mayor exponente de $x$ es 4. - $GR_{(y)} = 5$ → el mayor exponente de $y$ es 5. > El grado relativo se calcula $\mathbf{independientemente}$ para cada variable, buscando el término donde esa variable tiene el exponente más alto.

$\mathbf{Problema:}$ En el siguiente polinomio: $$P(x) = x^{a+1} + 2x^{a-3} + 7x^{a-5}$$ Calcular el valor de $a$ si $G.A. = 14$. $\mathbf{Solución:}$ El grado absoluto es el mayor exponente. Comparando los tres exponentes: - $a + 1$ - $a - 3$ - $a - 5$ El mayor es $a + 1$, por tanto: $$a + 1 = 14$$ $$\boxed{a = 13}$$ $\mathbf{Verificación:}$ Los exponentes quedan $14,\ 10,\ 8$. El mayor es efectivamente 14. ✓

$\mathbf{Problema:}$ En el polinomio: $$P(x,y) = 7x^2y^{b+4} - 5x^3y^{b-1} - x^2y^{b+7}$$ Calcular el valor de $b$ si $GR_y = 10$. $\mathbf{Solución:}$ Los exponentes de $y$ en cada término son: - $b + 4$ - $b - 1$ - $b + 7$ ← el mayor El grado relativo respecto a $y$ es el mayor exponente de $y$: $$b + 7 = 10$$ $$\boxed{b = 3}$$ $\mathbf{Verificación:}$ Los exponentes de $y$ quedan $7,\ 2,\ 10$. El mayor es 10. ✓

$\mathbf{Comparación\ rápida:}$ | Concepto | Definición | Cómo se calcula | |---|---|---| | $\mathbf{Grado\ Absoluto\ (G.A.)}$ | Mayor grado entre todos los monomios | Suma de exponentes de todas las variables en cada término; tomar el mayor | | $\mathbf{Grado\ Relativo\ (G.R.)}$ | Mayor exponente de una variable específica | Mirar solo el exponente de esa variable en cada término; tomar el mayor | $\mathbf{Regla\ práctica:}$ - Si te piden $G.A.$ → busca el término cuya suma de exponentes sea la más alta. - Si te piden $GR_{(x)}$ → busca el término donde $x$ tenga el exponente más alto (ignorando las otras variables). - Si hay una incógnita ($a$, $b$, $n$...) → plantea una ecuación igualando el exponente mayor al grado dado y resuelve.